Mapeo de conexiones en tu próxima fiesta. unclibraries_commons 

Digamos que estás planeando tu próxima fiesta y angustiado por la lista de invitados. ¿A quién deberías enviar invitaciones? ¿Qué combinación de amigos y extraños es la combinación correcta?

Resulta que los matemáticos han estado trabajando en una versión de este problema durante casi un siglo. Dependiendo de lo que quieras, la respuesta puede ser complicada.

Nuestro libro, "El mundo fascinante de la teoría de los gráficos"", Explora acertijos como estos y muestra cómo se pueden resolver a través de gráficos. Una pregunta como esta podría parecer pequeña, pero es una hermosa demostración de cómo se pueden usar los gráficos para resolver problemas matemáticos en campos tan diversos como las ciencias, la comunicación y la sociedad.

Un rompecabezas nace

Si bien es bien sabido que Harvard es una de las mejores universidades académicas en el país, es posible que se sorprenda al saber que hubo un momento en que Harvard tenía uno de los mejores equipos de fútbol del país. Pero en 1931, liderado por El mariscal de campo estadounidense Barry Wood, tal fue el caso.

Esa temporada Harvard jugó al ejército. En el medio tiempo, inesperadamente, el Ejército lideró Harvard 13-0. Claramente molesto, el presidente de Harvard le dijo al comandante de cadetes del Ejército que, si bien el Ejército puede ser mejor que Harvard en el fútbol, ​​Harvard fue superior en una competencia más académica.

Aunque Harvard regresó para derrotar al Ejército 14-13, el comandante aceptó el desafío de competir contra Harvard en algo más académico. Se acordó que los dos competirían, en matemáticas. Esto llevó a Army y Harvard a seleccionar equipos de matemática; el enfrentamiento ocurrió en West Point en 1933. Para sorpresa de Harvard, el ejército ganó.

La competencia de Harvard-Ejército llevó finalmente a una competencia anual de matemáticas para estudiantes de pregrado en 1938, llamada Examen Putnam, llamado así por William Lowell Putnam, pariente del presidente de Harvard. Este examen fue diseñado para estimular una rivalidad saludable en matemáticas en los Estados Unidos y Canadá. A lo largo de los años y hasta nuestros días, este examen ha incluido muchos problemas interesantes ya menudo desafiantes, incluido el que describimos anteriormente.

Líneas rojas y azules

El examen 1953 contenía el siguiente problema (reformulado un poco): hay seis puntos en el avión. Cada punto está conectado a cada otro punto mediante una línea azul o roja. Demuestre que hay tres de estos puntos entre los cuales solo se dibujan líneas del mismo color.

En matemáticas, si hay una colección de puntos con líneas dibujadas entre algunos pares de puntos, esa estructura se llama un gráfico. El estudio de estos gráficos se llama teoría de grafos. En la teoría de grafos, sin embargo, los puntos se llaman vértices y las líneas se llaman aristas.

Los gráficos se pueden usar para representar una amplia variedad de situaciones. Por ejemplo, en este problema de Putnam, un punto puede representar a una persona, una línea roja puede significar que las personas son amigos y una línea azul significa que son extraños.

Demuestre que hay tres puntos conectados por líneas del mismo color. Gary Chartrand

Por ejemplo, llamemos a los puntos A, B, C, D, E, F y seleccione uno de ellos, digamos A. De las cinco líneas dibujadas desde A hasta los otros cinco puntos, debe haber tres líneas del mismo color.

Diga que las líneas de A a B, C, D son todas rojas. Si una línea entre dos de B, C, D es roja, entonces hay tres puntos con solo líneas rojas entre ellos. Si no hay una línea entre dos de B, C, D es roja, entonces todas son azules.

¿Qué pasa si solo hay cinco puntos? Puede que no haya tres puntos donde todas las líneas entre ellos estén coloreadas de la misma manera. Por ejemplo, las líneas A-B, B-C, C-D, D-E, E-A pueden ser rojas, con las otras azules.

Por lo que vimos, entonces, el número más pequeño de personas que pueden ser invitadas a una fiesta (donde cada dos personas son amigos o extraños) de manera que hay tres amigos en común o tres extraños comunes es seis.

¿Qué pasa si queremos que cuatro personas sean amigos mutuos o extraños? ¿Cuál es el número más bajo de personas que debemos invitar a una fiesta para estar seguros de esto? Esta pregunta ha sido respondida. Es 18.

¿Qué pasa si nos gustaría que cinco personas sean amigos mutuos o extraños? En esta situación, el menor número de personas para invitar a una fiesta a la que se le garantiza esto es desconocido. Nadie lo sabe. Si bien este problema es fácil de describir y quizás suene bastante simple, es notoriamente difícil.

Números de Ramsey

Lo que hemos estado discutiendo es un tipo de número en la teoría de grafos llamado número Ramsey. Estos números llevan el nombre del filósofo, economista y matemático británico. Frank Plumpton Ramsey.

Ramsey murió a la edad de 26 pero obtuvo en su temprana edad un teorema muy curioso en matemáticas, que dio lugar a nuestra pregunta aquí. Digamos que tenemos otro avión lleno de puntos conectados por líneas rojas y azules. Seleccionamos dos enteros positivos, llamados r y s. Queremos tener exactamente r puntos donde todas las líneas entre ellos sean puntos rojos o s donde todas las líneas entre ellos sean azules. ¿Cuál es el menor número de puntos con los que podemos hacer esto? Eso se llama un número de Ramsey.

Por ejemplo, supongamos que queremos que nuestro avión tenga al menos tres puntos conectados por todas las líneas rojas y tres puntos conectados por todas las líneas azules. El número de Ramsey, la cantidad más pequeña de puntos que necesitamos para que esto suceda, es seis.

Cuando los matemáticos ven un problema, a menudo se preguntan a sí mismos: ¿Sugiere esto otra pregunta? Esto es lo que sucedió con los números de Ramsey y los problemas de la fiesta.

Por ejemplo, aquí hay una: cinco chicas están planeando una fiesta. Han decidido invitar a algunos chicos a la fiesta, ya sea que conozcan a los chicos o no. ¿Cuántos niños necesitan invitar para estar seguros de que siempre habrá tres niños entre ellos, de modo que tres de las cinco niñas sean amigas de los tres niños o no estén familiarizadas con los tres niños? Probablemente no sea fácil adivinar la respuesta. ¡Es 41!

Se conocen muy pocos números de Ramsey. Sin embargo, esto no impide que los matemáticos intenten resolver esos problemas. A menudo, no resolver un problema puede conducir a un problema aún más interesante. Tal es la vida de un matemático.

Acerca de los Autores

Gary Chartrand, Profesor Emérito de Matemáticas, Western Michigan University; Arthur Benjamin, Profesor de Matemáticas, Harvey Mudd College, y Ping Zhang, Profesor de Matemáticas, Western Michigan University

Este artículo se publicó originalmente el La conversación. Leer el articulo original.

Libros relacionados:

at InnerSelf Market y Amazon